Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{2} - y^{2} + 24 x - 4 y - 68 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 4$ und $c = 4 x^{2} + 24 x - 68$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ heraus.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus ${(- 4)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 - 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Stelle $- 4$ und $- 1 \cdot (4 x^{2} + 24 x - 68)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68) - 1 (4)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.2.4

Schreibe $- 1 (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)$ als $- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4)$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 68 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.3

Addiere $- 68$ und $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 24 x - 64$ heraus.

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Schritt 3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 24 x - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4.2

Faktorisiere $4$ aus $24 x$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2}) + 4 (6 x) - 64))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4.3

Faktorisiere $4$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (6 x)$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.4.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 6 x) + 4 \cdot - 16$ heraus.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (4 (x^{2} + 6 x - 16)))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (4 (x - 2) (x + 8)))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 4 (x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $16 (x - 2) (x + 8)$ als ${(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} ((x - 2) (x + 8))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 4 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}$

Schritt 3.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$

Schritt 3.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$ als $- (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$ um.

$y = - (2 \pm 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)})$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 - 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{(x - 2) (x + 8)}$